Curs de dibuix i expressió gràfico-visual
|
|
|
Tema
|
Fitxa
|
|
|
A
L T R E S C O R B E S
|
33
|
Corba
és un terme abstracte que fem servir per descriure
el moviment d'un punt capaç de generar una línia,
en el nostre cas, una línia, la direcció de
la qual, té una desviació determinada. Aquest
punt en moviment pot ser generat per eines manuals o per una
eqüació, aquesta seria la primera gran subdivisió
entre corbes gràfiques i corbes tecnico-matemàtiques.
Les corbes les podem dividir en famílies, les que ens
són més properes les teniu en aquest esquema,
el qual no esgota el tema ja que noves corbes s'han incorporat
en els últims temps.
|
Corbes
gràfiques
|
Corbes
tècniques, matemàtiques i algebraiques
|
|
Ovals i ovoides
|
Espirals, volutes i arcs.
|
Les
còniques
|
Les
cícliques 2D
|
Les
cícliques 3D
|
|
Altres
corbes
|
Gràficament
les corbes tècnico-matemàtiques en estar regides
per equacions han de ser traçades punt per punt amb
l'ajuda de corbes flexibles, plantilles de corbes o, en últim
cas a ma. Amb l'ajut de programes informàtics són
més fàcils de traçar, tot es converteix
en un procés més o menys automàtic.
Avui en aquesta fitxa tractem de les altres corbes, corbes
de diferent origen i antiguitat que poden ser traçades
amb el nostres einam de dibuix i, les quals en molts de cassos
porten el nom dels seus creadors. En un cercador podeu trobar
al wikipedia documentació sobre aquests autors.
|
|
|
|
1)
Cissoide de Diocles.-
Per a la construcció de la cissoide de Diocles partirem
d'una circumferència base o primària
de valor de diàmetre arbitrari. Traçarem dues
tangents a la circumferència perpendiculars al
diàmetre vertical. A partir del punt A traçarem
rectes arbitràries (secants a la circumferència)
fins la tangent t2. De cada punt de intersecció
d'aquestes secants amb la circumferència fins els punts
1, 2,... o 1',
2'...es generen uns segments amb
un valor mètric que reproduirem a partir del punt A sobre
cada una de les secants corresponents. Els extrems d'aquests
últims segments que no són A, defineixen la cissoide.
Com podeu comprovar la corba passa pels punts extrems del diàmetre
horitzontal. El segment 1C
és igual AC com en totes les secants. En una mateixa
secant tots els segments vermells dobles
són iguals. La tangent t2 és la recta límit
de la corba i funciona de fet com una asímptota que la
corba mai podrà traspassar.
|
|
|
|
2)
La corba estrofoide.-
Per començar el traçat d'aquesta corba cal definir,
en primer lloc, els punts 1, 2,...
i els seus simètrics 1',
2',... . Tots els punt es troben
de la mateixa manera, per tant treballarem com exemple, sobre
el punt 1. Prenem la distància del punt 1
a l'orígen de la corba O i amb aquest radi trecem
la primera de les circumferències
(en vermell). Tot seguit des del
punt A tracem la secant a la circumferència de centre
1 que passi pel seu centre, els
dos punts d'intersecció de la secant amb la circumferència
seran punts de l'estrofoide.
En matemàtiques i en geometria, una corba estrofoide,
és una corba engendrada a partir d'un punt O (el punt
fix) i un punt A també fix que fa de polar respecte de
les circumferències traçades
en vermell. No cal aclarir que a la part dreta de la corba ja
hem obviat les circumferències. La tangent t2 és
la recta límit de la corba i funciona de fet com una
asímptota que la corba mai podrà traspassar.
|
|
|
|
3)
Concoide de Nicòmedes, un primer cas.-
Per
realitzar una concoide de Nicòmedes, en aquest cas en
que a
és menor que h,
traçarem des del punt O fins a n
un conjunt de segments O1, O2, O3, ... Si perllonguem cada un
d'aquests segments en els dos sentits
amb el valor AB a
partir de cada un dels punts 1, 2, 3, ... obtindrem els
punts que defineixen la corba.
|
|
|
|
4)
Concoide
de Nicòmedes, un segon cas.-
En el cas que a és igual que h,
veurem com desapareix el llacet. Procedirem de la mateixa forma
que ho havíem fet en el primer cas per tal de construir
la corba.
|
|
|
|
5)
Concoide de Nicòmedes, un tercer cas.-
En
el cas que a és major que h,
veurem com també desapareix el llacet. Procedirem de
la mateixa forma que ho havíem fet en el primer cas per
tal de construir la corba.
|
|
|
6)
Cargol de Pascal, un primer cas.- Comencem
traçant una circumferència que
ens servirà de base per al traçat de la corba.
El diàmetre vertical d'aquesta circumferència
està definit pels punts PA. A continuació
definim una mesura arbitrària que hem anomenat c
menor o igual al radi de la circumferència.
Utilitzant el punt P com un punt fix,
tracem un conjunt de secants a la circumferència, a partir
dels punts de tall d'aquestes secants amb la circumferència,
cap enfora o cap
endins assenyalem la mesura constant C.
A' i A'' i tots els seus
homòlegs ens definiran la corba de Pascal que en aquest
cas i popularment l'anomenem, la llàgrima,
per raons evidents.
El llibre de Albrech Dürer Underweysung
der Messung (Instrucció sobre les mesures),
ja contenia mètodes per a definir cargols de Pascal.
|
|
|
|
7)
Cargol
de Pascal, un segon cas.-
Comencem
traçant una circumferència que
ens servirà de base per al traçat de la corba.
El
diàmetre vertical d'aquesta circumferència està
definit pels punts PA.Aquest
exercici l'hem realitzat d'una forma diferent, diguem que per
acumulació de circumferències, les quals, tenen
radis formats per un punt fix P i un punt mòbil (1, 2,
3, ...). Com més circumferències tracem més
precís és el contorn que defineixen aquestes circumferències
que no és altra que el cargol de Pascal. A continuació,
si ho voleu fer com el primer cas procediu com ho hem fet en
el primer cas. Definim primer, la mesura arbitrària que
hem anomenat c igual al diàmetre
de la circumferència. Utilitzant
el punt P com un punt fix, tracem un conjunt
de secants a la circumferència, a partir dels punts de
tall d'aquestes secants amb la circumferència, cap
enfora o cap endins assenyalem
la mesura constant C. A' i A''
i tots els seus homòlegs ens definiran la corba de Pascal
que en aquest cas i popularment l'anomenem, la cardioide,
per per la seva semblança a un cor. Podem
generar altres cargols de pascal tot fent variacions a la mesura
constant C.
|
|
|
|
8)
Corbes de Cassini, el primer cas.-
Les corbes de cassini són
el lloc geomètric dels punts què el producte de
les distàncies de cada punt de la corba a dos punts fixos
que anomenarem focus, és constant. Aquesta
corba en la seva construcció presenta tres variables
bàsiques que tot seguit presentarem tot seguit. El primer
cas, el teniu a la part superior. Per a la construcció
de la corba en tots el casos tracem una circumferència
de centre O i de diàmetre F, F' que seran els punts fixos
o focus des dels quals generarem punts de la corba. Tracem el
quadrat de costat OF' o F'C (és el mateix), tot seguit
des de F' tracem un arc F'2'
que ens permetrà trobar el punt
D. Sobre la semirecta que passa
per F'D i té l'orígen a F', situem un punt arbitrari
E, que en aquest primer cas estarà més enllà
de D, per sobre de D. Amb el valor F'E de radi des de O tracem
la circumferència concèntrica que passa per E
i té per vèrtexs els punt A i B. No gensmenys,
els punts A i B tenen la mateixa potència respecte de
la circumferència de diàmetre FF' i centre O.
És per això que quan tracem secants des de A com,
per exemple la A2-2',
tenim que amb el valor A2 de radi des de F i amb el valor A2'
de radi des de F' tracem dos arcs, el creuament dels quals ens
donarà un punt de la corba. Si intercanviem aquests valors,
el d'F a F' i a l'inrevés tindrem un punt simetric a
l'anterior respecte a l'eix O2'.
|
|
|
|
9)
Corbes
de Cassini, segon cas.-
Aquesta corba en la seva construcció presenta
tres variables bàsiques com hem dit i, aquesta, n'és
el segon cas, el teniu a la part superior. Per a la construcció
de la corba en tots el casos tracem una circumferència
de centre O i de diàmetre F, F' que seran els punts fixos
o focus des dels quals generarem punts de la corba. Tracem el
quadrat de costat OF' o F'C (és el mateix), tot seguit
des de F' tracem un arc F'2'
que ens permetrà trobar el punt
D. Sobre la semirecta que passa
per F'D i té l'orígen a F', situem un punt arbitrari
E que en aquest coincidirà amb D. Amb el valor F'E de
radi des de O tracem la circumferència concèntrica
que passa per E i té per vèrtexs els punt A i
B. No
gensmenys, els punts A i B tenen la mateixa potència
respecte de la circumferència de diàmetre FF'
i centre O. És per això que quan tracem secants
des de A com, per exemple la A2-2',
tenim que amb el valor A2 de radi des de F i amb el valor A2'
de radi des de F' tracem dos arcs, el creuament dels quals ens
donarà un punt de la corba. Si intercanviem aquests valors,
el d'F a F' i a l'inrevés tindrem un punt simetric a
l'anterior respecte a l'eix O2'.
|
|
|
|
10)
Corbes
de Cassini, el tercer cas.-
Aquesta
corba en la seva construcció presenta tres variables
bàsiques com hem dit i, aquesta, n'és el tercer
cas, el teniu a la part superior. Per a la construcció
de la corba en tots el casos tracem una circumferència
de centre O i de diàmetre F, F' que seran els punts fixos
o focus des dels quals generarem punts de la corba. Tracem el
quadrat de costat OF' o F'C (és el mateix), tot seguit
des de F' tracem un arc F'2'
que ens permetrà trobar el punt
D. Sobre la semirecta que passa
per F'D i té l'orígen a F', situem un punt arbitrari
E que en aquest cas estarà per sota de D. Amb el valor
F'E de radi des de O tracem la circumferència concèntrica
que passa per E i té per vèrtexs els punt A i
B. No
gensmenys, els punts A i B tenen la mateixa potència
respecte de la circumferència de diàmetre FF'
i centre O. És per això que quan tracem secants
des de A com, per exemple la A2-2',
tenim que amb el valor A2 de radi des de F i amb el valor A2'
de radi des de F' tracem dos arcs, el creuament dels quals ens
donarà un punt de la corba. Si intercanviem aquests valors,
el d'F a F' i a l'inrevés tindrem un punt simetric a
l'anterior respecte a l'eix O2'.
En aquest cas el valor de la tangent A3,3',
ens permetrà trobar la posició del punt
3 característic
d'aquest cas.
|
|
|
11)
Lemniscata
de Bernoulli.-
La
Lemniscata de Bernouilli, podria ser considerada una corba de
Cassini en la qual el punt E, coincideix amb C. En aquesta corba
el punt O és l'únic punt doble de la corba. Aquesta
corba fou estudiada abastament per Jackob
Bernoulli del qual rep el nom. Lemniscata ve d'una
paraula grega ( lêmniskos
) que significa cinta i es refereix a una cinta que donaven
als atletes guanyadors dels jocs olímpics de l'antiguitat
grega.
|
|
|
|
12)
Lemniscata
de Bernoulli,
construcció gràfica.-
Aquí, en aquesta ampliació del dibuix anterior
i, amb claredat, podem veure el procediment de trobada dels
diversos punts de la corba. Tracem un feix de secants O1', O2',
O3', O4', les quals també intercepten la circumferència
en els punts 1, 2, 3, 4. Si agafem els valors
O1, O2,
O3, O4,
i els situem sobre 1', 2', 3' i 4' cap a l'interior de la circumferència,
en color verd com podeu veure,
trobarem els punts 1'', 2'',
3'' i 4''
de la corba. També podeu
trobar els punts de la Lemniscata
situant, per exemple, el valor del segment 1-1' i tot situant-lo
a partir del punt O en el altre extrem trobaríem el punt
1'' de la Lemniscata.
|
|
|
|
13)
Lemniscata
de Gerono,
construcció.-
Comencem aquest traçat amb una circumferència
de diàmetre AB, que és l'eix major de la corba.
Tot seguit tracem les tangents t i t' a la circumferència
en els punts B i A. Per anar trobant els diferents punts de
la corba traçarem un seguit de rectes
secants fins les tangents, concretament fins els punts
0, 1,
2, 3,
i 4. A continuació des dels
punts anteriors tracem paral.leles a l'eix
major AB de la corba i, així, trobarem els punts
0,
1, 2,
3, i 4,
des dels quals traçarem perpendiculars
a l'eix major AB de la corba les quals en intersectar
les rectes secants traçades
de bon principi, ens donaran els punt 0,
1, 2,
3, i 4 de
la Corba de la Lemniscata de Camille-Christophe Gerono.
|
|
|
|
14)
Paràbola
virtualis,
construcció.-
Hem començat per traçar una circumferència
base arbitrària i una secant R que passa pel punt A que
és l'únic punt dobl de la corba. Per trobar punts
de la corba, només hem de traçar feixos
de secants perpendiculars a R, fixem-nos però
en la secant 1-2. La distància A-1 és la que ens
servirà per trobar el punt 1'
de la corba ja que A-1 = 1-1'.
Per trobar el punt 2' de la corba
procedirem de la següent forma, traçarem
la corda A-2 i des de 1 amb aquest valor mètric
A-2 trobarem 2' sobre la perllongació
de la secant 1-2. Tots els punt es troben de la mateixa forma,
només ho teniu que comprovar, també podeu trobar
la part dreta de la corba per simetria axial de cada un dels
punts de la vessant esquerra de la corba en relació
a l'eix AR.
|
|
|
|
15)
Paràbola
virtualis recta, construcció.-
La construcció de la paràbola virtualis recte
és molt semblant a l'exercici
de la paràbola virtualis
comú. El que canvia aquí, és que
l'extrem del diàmetre horitzontal
D és el punt doble de la corba. Tots els punts
es troben de la mateixa forma, només trobant els punts
d'un quadrant, per simetria, podrem trobar també tots
els punts de la corba. Tracem secants
a la circumferència de centre O
a partir d'R i perpendiculars a R. Per
exemple, tracem la secant 2-1.
La distància A-1,
fent centre des del punt 2,
en intersectar la mateixa secant, ens donarà el
punt 1'' de la corba; mentre que la
distància A-2,
fent centre en el punt 2, en intersecar
sobre la mateixa secant ens donarà el
punt 1' de la corba.
|
|
|
|
16)
Bifolium
simètrica, construcció.-
Per a la construcció de de
qualsevol punt
de la
bifolium simètrica es segueix el mateix procediment.
Veiem com trobem els punts B i
A, doncs, de la bifolium simètrica.
En primer lloc tracem la secant
que talla la circumferència origen de centre O en els
punts A
i B. A continuació tracem
primer la corda CA
i, amb aquest valor de radi tracem un
arc des d'A,
el qual en intersectar la secant
AB ens donarà el
punt A exterior de la bifolium
simètrica. Tot seguit tracem la corda
CB i amb el seu valor mètric
tracem un arc des de B,
el qual en intersecar la secant corresponent ens donarà
el punt B interior de la bifolium
simètrica. Tota els punta es troben de la mateixa forma,
no cal dir que els punts de la part dcreta de la corba els podem
trobar o per simetria o, simplement, aplicant el mateix procediment
però en sentit contrari respecte l'eix CO.
|
|
|
|
17)
Corba
de Bao, construcció.-
La corba de Bao ve a ser una derivada d'un quadrant de circumferència
com podrem veure. Partim doncs d'un quadrant de circumferència
definit per OAB. Tot seguit, definim
arbitràriament el punt homòleg d'A
i, per tant, el seu derivat C.
A continuació definim O5 i, aquest segment de 5 parts
iguals (O-1,1-2,...etc). Anem a
veure com a partir del punt 4, trobem el punt 4CB
de la corba de Bao ja que tots els punts els trobarem seguint
el mateix procediment. Des de 4 tracem dos
segments, un paral.lel a 5C,
que ens permetra trobar el punt 4'' i l'altra paral.lel a 5A
que ens permetra trobar el punt 4'. Des de 4' i 4' ' aixequem
perpendiculars, quan la perpendicular
traçada des de 4' intersecti l'arc BA,
ens permetrà trobar sobre aquest el punt, 4' ' '. Si
des de 4' ' ' tracem una paral.lela
a OC,en intersecar aquesta amb
la perpendicular a OC
que havíem aixecat des de 4' ', trobarem el punt 4CB
de la corba. Tots els punts es troben de la mateixa forma. No
cal dir que d'aquesta forma podríem derivar els quatre
quadrants d'una circumferència, esdevinguent la corba
una entitat tancada en forma semblant a la de una elipse.
|
|
|
|
18)
Trifolium
simètrica,
construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
19)
Quàrtica
piriforme, construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
20)
Folium
simple, construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
21)
Folium
duplex o també anomenada bifolium, construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
22)
Rosàcia,
construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
23)
Òval
de Descartes,
construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
|
|
|
24)
Sinoide,
construcció.-
Aqui, a la part superior,
|
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
|
|
Webs
relacionades
|
|
|
|
