© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar. Amb la col.laboració de Maria Romero Pérez
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
APLICACIONS DE TRASFORMACIONS GEOMÈTRIQUES
24
1) Unir dos punts A, B, tot passant per un punt d'una recta donada i que la distància sigui mínima.- Tenim dos punts A i B, per resoldre el tema de la mínima distancia entre A i B passant per un punt de la recta m procedirem de la següent manera: fem una reflexió del punt A emprant m com a eix m o el que és el mateix, tracem una perpendicular d'A a m que serà la mesura més curta fins a m aquesta mesura la doblem a continuació del primer traçat i trobem el punt 2 que per reflexió podríem haver anomenat com a B'. Tot seguit des de 2 tracem una recta fins el punt B que en intersecar la recta m ens permetrà trobar el punt 3. Per cloure el tema i com podem veure la recta trencada A3B ( amb cian ) és la distància més curta que cercàvem. Us preguntareu perquè això és així, imagineu-vos que teniu A i B i els seus punts simètrics A' i B' respecte d'm. Els quatre punts defineixen un quadrilàter del qual les diagonals són les mesures més curtes entre els vèrtex oposats, és per aquesta raó que el camí més curt d'A fins B passant per un punt d'm ha de passar necessàriament pel punt 3 ja que les dues semi diagonals també són les mesures mes curtes.
2) Distància mínima entre dos punts A i B tot passant per dos punts consecutivament de dues rectes donades m i n.- Aquest es un exercici molt semblant a l'anterior. Si en el exercici anterior havíem fet una sola reflexió sobre un sol eix que era m, en aquest cas hem de fer dues reflexions sobre m i sobre n. Hem començat l'exercici obrint el compas de V fins a A per intersecar la perpendicular a m traçada des de A. Així trobem el punt 2. Tot seguit des de V fem la mateixa operació respecte de B ( traçant un arc de radi VB ) i així trobem sobre la perpendicular de B a n el punt 1. A continuació tracem una recta des de 1 fins 2 per trobar sobre n i m els punts 4 i 3 que serà per on passaran les rectes que ens donaran l'itinerari més curt per anar d'A fins a B passant per un punt d'm i de n. El resultat és A34B (traçat amb cian).
3) Situar segments donats AB i BC amb els seus extrems en cada un dels elements donats, en aquest cas dues circumferències i una el.lipse.- Tenim una el.lipse i dues circumferències amb les quals farem el mateix exercici respecte de l'el.lipse (dos casos) amb dues mesures AB i CD donades. Comencem per AB i per la circumferència de centre O1. Desplacem el centre O1 horitzontalment la mesura AB per trobar O1' des de la qual tracem una nova circumferència d'igual radi que la de centre O1, la qua intersecarà l'el.lipse en dos punts si col.loquem els extrems drets del segment AB sobre els punts que hem assenyalat com a B trobarem les dues solucions possibles en el cas d'AB. A continuació procedirem d'igual manera en el cas del segment CD. Hem de dir que segons les posicions dels elements i del valor del segment donat aquest problema pot no tenir solució.
4) Situar triangles equilàters amb els seus vèrtex sobre tres circumferències donades .- Tenim tres circumferències concèntriques de radis R1, R2 i R3. Si ningú ens ha assenyalat cap punt de partida el podem triar nosaltres, en aquest cas el punt A, des del qual amb el compàs tracem un arc de radi AO fins intersecar la concèntrica de radi R3, des d'aquesta intersecció amb radi R1 tracem una circumferència igual a la menor que ens havien donat, aquesta nova circumferència intersecarà la circumferència de radi R2 en els punts B i C. Els segments AB i AC son els costats dels triangles equilàters que cercàvem. Només teniu que traçar-los per veure com cada un d'ells tindrà un vèrtex sobre cada una de les circumferències concèntriques que teníem des d'un bon principi.
5) Inscripció en un quadrilàter ABCD un altre quadrilàter semblant a un també donat EFGH.- Tenim els quadrilàters ABCD i EFGH, els dos de l'esquerra. Dintre d'ABCD hem d'inscriure un quadrilàter semblant al EFGH donat. Traslladem una copia d'EFGH a la zona d'operacions i procedim a traslladar paral.eles dels costats AB, BC, CD i DA que parteixin dels vèrtex de quadrilàter EFGH, a continuació veurem que aquestes paral.leles, una vegada perllongades, s'intersequen per formar el quadrilàter semblant A'B'C'D', també ens podríem recolzar en el trasport dels angles t i s. Tot seguit traslladem el quadrilàter ABCD a la zona d'operacions mantenint el paral.lelisme dels seus costats. Si fem passar rectes pels punts homòlegs A'-A, B'-B, ets trobarem el centre d'homotècia i, també, el quadrilàter equivalent a EFGH, E'F'G'H' dibuixat en cian que l'haurem trobat per mitjà dels feixos de rectes de color verd, tot seguint la direcció de punts homòlegs.
Webs relacionades