© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar. Amb la col.laboració de Maria Romero Pérez
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
FIGURES EQUIVALENTS
22
Anomenem figure equivalents a les figures que tenen la mateixa extensió, entesa aquesta com una magnitud. No hem de confondre superficie, que seria l'espai fitat per un contorn amb l'àrea d'aquesta superfície, la qual seria la mesura de l'extensió de la superfície. En aquest tipus de problema es tracta de construir figures que tinguin la mateixa extensió i la mateixa àrea o aproximadament, com veurem en alguns cassos, que una figura donada.
1) Construcció d'un quadrat equivalent a un triangle donat.- Tenim un triangle qualsevol, en aquest cas l'EFG. En primer lloc tracem la seva alçada 1-2, tot seguit tracem la mediatriu d'1-2. Afegim colinealment al costat EF la meitat d'1-2 (1/2 d'1-2). Trobem el punt mig de la suma de EF + 1/2 d'1-2 que anomenem O, des del qual amb radi OF tracem una semicircumferència la qual en intersecar la perpendicular a EF en el punt E ens permetrà trobar el punt B. A partir d'AB que és el costat del quadrat que cerquem ABCD, ja el podem traçar. Aquest serà doncs el quadrat equivalent a al triangle EFG.
2) Construcció d'un rectangle equivalent a un triangle donat.- Tenim un triangle qualsevol EFG, al qual tracem l'alçada 1-2. Trobem el seu punt mig 3, per mitjà del traçat de la mediatriu d'aquesta alçada, tot seguit fent us com a costats del rectangle de la semi-alçada 1-3 i del costat EF construïm el rectangle que cercàvem i, el qual es equivalent al triangle donat.
3) Construcció de paral.lelògrams equivalents .- Tenim el paral.lelogram EFGH. En aquest cas només cal, tot emprant e costat EF del paral.lelogram, aixecar perpendiculars fins la mateixa alçada que tenia el paral.lelogram, així trobarem els punts CD del rectangle. Visualment podem comprovar el perquè de l'equivalencia de ABCD amb EFGH. Aquest problema es podria plantejar a la inversa sabent l'angle d'inclinació dels costats laterals i es resoldria amb la mateixa facilitat.
4) Construcció d'un trapezi equivalent a un rectangle.- Tenim el rectangle EFGH, en primer lloc per resoldre el problema hem de trobar els punts mitjos M i N dels costats laterals del rectangle. A partir d'aquest punt el problema podria tenir moltes variables depenent de si ens donessin un dels costat horitzontals del trapezi. Si fos el cas que ens donessin el costat AB en la posició que el tenim aquí representat, només tindríem que traçar els costats laterals passant rectes pels punts mitjos M i N dels costats del rectangle, i així trobaríem els punts C i D que falten per completar el trapezi equivalent ABCD al rectangle EFGH. Aquest problema es podria plantejar a la inversa, si ens donessin el trapezi i tinguéssim que trobar el rectangle. Trobaríem en aquest cas els punts mitjos dels costats laterals del trapezi i procediríem com podeu veure a la figura superior.
5) Construcció d'un quadrat equivalent a un rectangle.- Tenim el rectangle EFGH. Posem FE i EH consecutivament i colineals per trobar el punt 1. Trobarem el punt mig d'1F, O per tal de traçar una semicircumferència de radi OF que en tallar la perllongació del costat EH ens permetrà trobar el punt C. BC és el costat del quadrat ABCD equivalenta al rectangle EFGH.
6) Construcció d'un quadrat equivalent a un polígon regular.- Tenim l'heptàgon regular ABCDEFG. Trobem el punt mig de 3'5 c, S des d'on tracem una semi-circumferència. Tot seguit, restem a 3'5 costats l'apotema a per trobar el punt H des del qual aixecarem una perpendicular fins que intercepti la semi-circumferència en el punt K. AK és el costat del quadrat HIJK equivalent a l'heptàgon ABCDEFG.
7) Construcció d'un quadrat equivalent a un triangle equilàter.- Partim del triangle equilàter ABC. Unim amb una recta els dos punts mitjos dels costats laterals del triangle equilàter 1-2, tot seguit des del punt 1 tracem una perpendicular al costat AB del triangle equilàter per trobar el punt D, unint aquest punt per mitjà d'una recta amb el punt 2 que ara anomenarem G i que serà el costat del quadrat DEFG equivalent al triangle equilàter ABC.
8) Construcció d'un polígon equivalent a un altre qe tingui un costat menys.- En aquest cas ens és donat el polígon ABCDEF en color groc i volem trobar el seu polígon equivalent blau ABCDH que com podeu veure té un costat menys. En aquest cas volem anular els vèrtex E i F, per la qual cosa procedim de la següent manera: tracem el segment EA ( color blanc ) i perllonguem DE. A continuació des de F tracem una paral.lela a EA que en intersecar la perllongació de DE ens permetrà trobar el punt H. Des de H traçarem un segment fins el punt A amb la qual cosa haurem completat el polígon ABCDH. A sota d'aquest triangle blau podeu veure els dos triangles equivalents ( que tenen la mateixa extensió i àrea ) AFG s'ha afegit com GHE al triangle ABCDH. el qual és l'equivalent que cercàvem d'ABCDEF.
9) El problema de la quadratura del cercle.- Aquest problema té una solució gràfica aproximada, matemàticament, és de solució incommensurable. El segment que cerquem que no és altre que el costat del quadrat és la mitja proporcional entre B' - A' i r. Per la resolució del problema, donada la circumferència de centre O i radi r, tracem el segment B' - A' que és el desenvolupament de mitja circumferència i que hem trobat fent servir C4 i C3, que son els costats del quadrat inscrit i del triangle inscrit en la circumferència donada. Trobem el punt mig A' - M ( r + B' - A' ) O, des del qual tracem tracem una semi-circumferència de centre O i radi O - A'. En traçar una perpendicular en el punt B' , aquesta ens intersecara la semi-circumferència de tal manera que trobarem el punt C, el costat B' - C serà el costat de quadrat equivalent, aproximadament, de la circumferència donada. Només faltarà construir el quadrat equivalent B'CDE.
10) Construcció d'un quadrat equivalent a un pentàgon regular.- Donat el pentàon regular ABCDE, per trobar el seu quadrat equivalent comencem per convertir el pentàgon en un triangle (de color verd) tot traçant les rectes s DA i DB, per a continuació perllongar a dreta i esquerra el costat AB el pentàgon. Es d'E i C tracem consecutivament paral.leles a DA i DB per trobar en la intersecció els punts F i G, els quals junt amb D formen el triangle DFG. Amb el valor mètric b del segment FG i el valor DM i 1/2 de DM definits com podeu veure a la figura superior. Trobem el punt mig O de DD que és ( b + 1 / 2 DM), des del qual traçant una semi-circumferència, per intersecció a una perpendicular aixecada en H trobarem el costat del quadrat que cerquem HI. Només caldrà completar el quadrat equivalent HIJK.
11) Construcció d'un quadrat, la superfície del qual, ha de ser la meitat de la suma de tres altres quadrats.- Tracem els dos primers costats donats m i n perpendiculars un al altre, tot seguit, tracem r perpendicularment a la diagonal d triangle de catets m i n. Des del punt mig de la hipotenusa del triangle de catet r tracem una semi-circumferència, a continuació unim el punt mig de la hipotenusa i el punt mig de la semi-circumferència. Ja només caldrà traçar L que és el costat del quadrat equivalent en superfície a la meitat de la suma dels tres quadrats, de costats m, n, r.
12) Construcció d'un cercle equivalent a una elipse.- Donada la elipse de centre O, des del seu centre amb radi b tracem un arc des de 1 fins a 2 que intersecarà e diàmetre major entre O4. Trobem el punt mig d'aquesta anterior intersecció i el punt 4 que serà O', des d'on traçarem una circumferència de radi O'4. Amb la tangent r d'O a la circumferència de centre O', traçarem la circumferència equivalent a l'elipse donada.
13) Divisió d'un triangle en dues parts equivalents.- Com veieu, només traçant la mediana 1-2 del triangle ABC donat trobem dues parts equivalents del mateix triangle.
14) Divisió d'un triangle en dues parts equivalents, per paral.lela a un costat.- Per dividir en dues parts equivalents el triangle ABC podem procedir de la següent manera: trobem el punt mig O del costat horitzontal AB, des del qual tracem una semi-circumferència. Unim a continuació O, amb el punt mig de la semi-circumferència 1, tot seguit des d'A tracem un arc amb radi A-1 per trobar sobre el costat AB el punt 2 des del qual traçarem una paral.lela 3-2 al costat BC, la qual ens dividirà el triangle ABC en dues parts equivalents.

15) Rectangle equivalent de costat prefixat a un de donat .- Donat el rectangle ABCD, se'ns demana trobar un rectangle que tingui un costat horitzontal de valor c'. Per resoldre el problema posem a continuació de d'AB (c) c' per trobar en el seu extrem el punt 1 des del qual traçarem una recta que passi pel punt C del rectangle donat i es perllongui fins trobar-se amb la perllongació d'AD en el punt 2. D'1 i de 2 tracem consecutivament paral.leles a AD i AB que es creuaran en el punt C'. El rectangle A'B'C'D' és equivalent al rectangle ABCD.
16) Quadrat equivalent a la suma d'altres dos. Representació gràfica del teorema de Pitàgores.- Donats dos costats c1 i c2 que son els costats de dos quadrats la suma dels quals ha de donar equivalent al quadrat ABCD que cerquem. tracem en relació normal (perpendicularment un de l'altra) els dos costats donats c1 i c2, tot seguit unim els extrems lliures del dos catets amb la hipotenusa H. Amb el costat AB construirem el quadrat ABCD equivalent a la suma dels dos quadrats de costat c1 i c2.
17) Cercle equivalent a la suma d'altres dos.- Si ens donen dues circumferències de radis R1 i R2, situarem una d'elles amb el centre sobre un punt de l'altra circumferència. Unirem a continuació els dos centres O1 i O2, tot seguit des d'O2 aixecarem una perpendicular que intersecarà la circumferència en el punt M. Fent centre a O1 i amb radi O1-M, R3 podem traçar la circumferència equivalent (color cian) a la suma de les altres dues.
18) Divisió d'un cercle en dues parts equivalents.- Si ens donen una circumferència de centre O, per dividir-la en dues parts d'àrea equivalent, procedim de la següent manera, tracem els radis O1 i O2, a continuació unim els punts 1 i 2 per mitjà d'una recta. La meitat del segment 1-2 és el punt 5 que el podeu trobar traçant la mediatriu d'1-2. El segment O5 serà el radi de la circumferència que ens dividirà la que ens havien donat en dues parts aproximadament d'igual àrea (en cian).

Webs relacionades