© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar. Amb la col.laboració de Maria Romero Pérez.
Curs de dibuix i expressió gràfico-visual
Tema
Fitxa
PROBLEMES RELACIONATS AMB QUADRILÀTERS
8

Els quadrilàters són polígons de quatre costats, esl quals podem calssificar com a:
1.- Quadrilàters.- És el nom genèric dels polígons de quatre costats, de fet englobaria tots els tipus definits a continuació.
1.- Paral.lelògrams.- Són tots aquells polígons de quatre costats que tenen els costats oposats, paral.lels dos a dos. El concepte de paral.lelogram englobaria tant el rectàngle com el quadrat com aquells poligons de quatre costats paral.lels dos a dos amb els seus angles interiors
1.- Rectangle.- Polígons de quatre costats que tenen els costats oposats, paral.lels dos a dos i tots els seus angles interiors són rectes.
1.- Quadrat.- Polígons de quatre costats que tenen un parell de costats oposats paral.lels.
2.- Trapezis.- Són aquells quadrilàters que tenen dos costats paral.lels. Podem parlar de tres tipus de trapezis, el trapezi rectangle (té un angle interior recte), el trapezi isòscels (angles interiors iguals dos a dos)i el trapezi escalé (cap angle interior igual).
3.- Trapezoides.- És un polígon de quatre costats, ningun dels quals és paral.lel a cap altre.
4.- Rombes.- És un polígon de quatre costats iguals però, els angles interiors dels quals no són rectes, en te dos d'obtusos i dos d'aguts.
5.- Romboides.- Són polígons de quatre costats iguals dos a dos (cada costat és igual a l'oposat), els angles interiors dels quals no són rectes, en te dos d'obtusos i dos d'aguts.
6.- Deltoide.- És un polígon de quatre costats simètric que té dos angles interiors rectes, un d'agut i un d'obtús, aquests dos últims suplementaris (sumen 180º).

 

 

 






QUADRILÀTERS









PARAL.LELÒGRAMS
QUADRAT
RECTÀNGLE
PARAL.LELÒGRAM





TRAPEZIS
TRAPEZI  RECTANGLE
TRAPEZI  ISÒSCELS
TRAPEZI  ESCALÉ
TRAPEZOIDES
ROMBE
ROMBOIDE
DELTOIDE

Classificació gràfica dels quadrilàters

1) Elements del paral.lelògram.- Per
2) Elements del romboide.- Per
3) Elements del trapezi.- Per
4) Propietats dels quadrilàters.- Per
5) Circumscripció d'un quadrilàter.- Per
6) Inscripció d'un quadrilàter.- Per
7) Construcció del quadrat donada la diagonal.- Situada la diagonal donada en posició horitzontal trobem el seu punt mig tot traçant la mediatriu. Prenent el punt mig com a centre i amb radi 1/2 d'AB tracem una circumferència. Quan aquesta interseca la mediatriu abans traçada trobem els altres dos punts que ens faltaven per construir el quadrat.
8) Construcció amb compàs d'un quadrat coneixent-ne el costat.- Posicionem horitzontalment el segment representatiu del costat i en un dels seus extrems apliquem un exercici d'aixecar una perpendicular en el extrem d'un segment utilitzant un arc arbitrari consecutivament com podeu veure a l'esquerra de la figura amb els arcs (1,2,3,4). Fent centre en A i amb radi AB tracem un arc que en intersecar sobre la línia definida per A4 ens donarà el punt D. Des de B i des de D tracem arc de radi AB, els quals en intersecar-se ens donaran el punt C, el qual completara la definició gràfica del quadrat.
9) Construcció d'un paral·lelogram coneixent-ne la suma dels costats i la diagonal.- Posicionem horitzontalment el segment representatiu de la suma d'AB+BC. En el extrem C del segment tracem una recta convergent a 45 graus, a continuació, amb centre en el punt A i amb radi AC tracem un arc de circumferència que intersecara la convergent (a 45º) anteriorment traçada que ens donarà el punt C del paral·lelogram. A continuació des de C tracem una perpendicular a AB+BC per trobar el punt B, tot seguit a partir de C tracem un arc de circumferència amb radi AB i des de A amb radi BC: La intersecció dels dos arcs ens donarà l'ultim punt, el punt D de la figura.
10) Construcció d'un paral·lelogram coneixent-ne un costat, el menor (AD) en aquest cas i la diagonal (AC).- Situem AC horitzontalment on volem realitzar l'exercici. Des del punt 1/2 d'AC, tracem una circumferència de radi 1/2AC. A continuació, a partir del punt A i amb radi AD tracem un arc de circumferència, el qual, en intersecar la circumferència ens donara un punt, el punt D, el qual ajuntarem amb C . Traçant des d'A i des de C paral·leles als anteriors costats trobarem el paral·lelogram que cercàvem. Aquest exercici coincideix amb la demostració de l'arc capaç que es feia a les escoles de matemàtiques del Rajasthan on destacava el gran matemàtic indi Brahmagupta.
11) Construcció amb compàs d'un rectangle coneixent-ne el costat menor (AD) i el costat major (AB).- Sobre l'extrem A del costat major apliquem l'exercici d'aixecar una perpendicular en el extrem d'un segment amb arcs consecutius (1,2,3,4). Sobre la recta definida per A4 marquem AD per trobar el punt D. Des de D amb radi AB i des de B amb radi AD tracem dos arcs que en intersecar-se ens permetran trobar el punt C amb el qual acabarem de definir el paral·lelogram rectangle.
12) Construcció d'un romboide coneixent-ne el costat major, el menor i un dels seus angles.- Sobre el costat AB situem l'angle donat. Consecutivament sobre el costat M de l'angle tracem el costat menor AD. Des de D amb radi AB tracem un arc que intersectarà amb l'arc traçat des de B amb radi AD. Aquest ultim punt C, completarà el romboide demanat.
13) Construcció d'un romboide coneixent-ne el costat major, el costat menor i l'alçada.- Sobre l'extrem B del costat major AB situem l'alçada del romboide donada. Tot seguit des de A i amb radi CD, el costat menor, tracem un arc que en intersecar la paral·lela a distància h d'AB ens donara el punt D. Des de D i sobre la paral·lela a AB tracem de nou AB, per trobar C. Per acabar, des de B tracem una paral·lela a AD i trobarem BC.
14) Construcció d'un romboide coneixent-ne el costat major, el costat menor i la diagonal.- Des de l'extrem A del costat AB, tracem amb radi AD (el costat menor) un arc de circumferència. Des de l'extrem B d'AB, tracem un arc de circumferència amb radi BD (la diagonal donada). La intersecció d'aquests dos arcs en permetrà trobar el punt D del romboide. Des de D, traçarem un arc amb radi AB i des de B. traçarem un arc amb radi AD, la intersecció dels dos arcs ens permetrà trobar el punt C per tancar la figura, el romboide que cercàvem.
15) Construcció d'un romboide coneixent-ne la diagonal i un dels seus angles.- Tracem la bisectriu de l'angle donat, sobre la qual marquem el valor AC. Des de C tracem una paral·lela al costat m de l'angle donat, la intersecció d'aquesta paral·lela amb el costat n de l'angle ens donarà el punt D i posteriorment traçant des de C una paral·lela al costat n de l'angle donat sobre m trobarem el punt B que ens completarà el romboide.
16) Construcció d'un rombe coneixent-ne el costat i una diagonal.- Des dels extrems de la diagonal A i C tracem arcs a dalt i a sota d'aquesta, les interseccions d'aquests arcs ens donaran els punts B i D, els quals ens permetran completar el traçat del rombe.

17) Construcció d'un trapezi escalè coneixent-ne el seus costats.- Des de l'extrem A del costat AB tracem un arc com el de la figura que intersecara aquest mateix costat en el punt D' , des D' amb el mateix valor de radi AD tracem un nou arc. A continuació des de B amb radi BC tracem un arc que intersecara que havíem fet anteriorment per donar-nos el punt C del trapezi escalè. Tot seguit i des de C tracem un arc amb radi CD que intersecara el primer arc que havíem traçat en el punt D, el qual completarà el trapezi escalè que cercàvem.

18) Construcció d'un trapezi escalè coneixent-ne les bases superior i inferior i les diagonals.- Tracem consecutivament i colinealment els costats AB i DC, des de C' amb radi BD tracem un arc. A continuació tracem un arc des d'A amb el radi de l'altra diagonal AC, el qual en intersecar l'arc anteriorment traçat ens donara el punt C. Posteriorment des de C tracem un arc amb radi CD i des de B tracem un arc amb el radi de la diagonal BD. La intersecció d'aquests darrers dos arcs ens donarà el punt D que en permetrà completar el trapezi escalè que cercàvem.
19) Construcció d'un qadrat coneguda la suma del costat i la diagonal.- Tracem
19) Construcció d'un quadrat coneguda la resta del costat i la diagonal.- Tracem
19) Tauleta d'argila babilònica.- Aquesta tauleta d'argila ens pot servir d'exemple de la importancia de les figures elementals des de temps remots per a la humanitat, la qual data aproximadament del 1700 aC i representa un quadrat amb les seves diagonals. Hi ha documentats atuells decorats amb quadrats de 6000 anys aCa Mesopotàmia.
Aquestes tauletes demostren coneixements sobre les simetries i les rotacions del quadrat cap al segle XVIII aC.
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
Perquè en l'exercici 3 tracem un angle de 45 º i no cap altre. Raona el perquè.
Si en l'exercici número 4 et donessin el costat major per compte del menor, variaria el procediment de resolució del problema. Comprova-ho gràficament.
Traça pel teu compte tots els exercicis anteriors.
Webs relacionades