Curs de dibuix i expressió gràfico-visual |
|
|
Tema |
Fitxa |
|
| CONSTRUCCIÓ
DE POLÍGONS DONAT EL COSTAT | 12 |
|
Definicions
dels polígons i tipus.- Els
polígons són espais limitats per línies trencades, plans
i tancats. Tots i cada un dels segments de la
línia trencada rep en nom de costat del polígon i
el conjunt d'quests costats, perímetre del polígon. Quan
els costats d'un polígon son igual aquest polígon rep el nom de
polígon equilàter. En
el cas que tots els angles interiors del polígon siguin iguals hem de parlar
i definir el polígon com a polígon equiangle.
És quan costats i angles interiors d'un polígon són iguals
quan parlem de polígons regulars, pel
contrari els que no compleixen aquestes premisses són polígons irregulars.
El nostre objecte d'estudi es centra prioritàriament
en l'estudi dels polígons regulars.
Propietats
dels polígons.- La suma
dels angles externs d'un polígon és igual a 360º ( a_e
= 360º ). La suma dels angles interns
d'un polígon és igual a 180º pel nombre de costats menys 2
( a_i = 180º (n-2) ). El nombre
de diagonals d'un polígon és igual al nombre de costats pel
nombre de costats menys 3 i partit per 2, ( n_d = n (n-3)/2
)
Classificació dels polígons regulars
segons el nombre de costats .- Triangle equilàter (3 costats
iguals), quadrat (4 costats iguals), pentàgon (5 costats iguals), Hexàgon
(6 costats iguals), heptàgon (7 costats iguals), octògon (8 costats
iguals), enneàgon (9 costats iguals), decàgon (10 costats iguals),
hendecàgon (11costats iguals), dodecàgon (12 costats iguals), pentadecàgon
(15 costats iguals), tots els demés polígons regulars els anomenem
com a polígon regular de 23 costats, etc. | |
| | Línies
notables d'un polígon regular de costats parells
Apotema
( a ), radi ( r
), diagonal ( d
), diagonal
principal ( dp ),alçada
( h ) perímetre
( ABCDEF )
L'apotema
d'un polígon és la recta que uneix el centre d'aquest (centre també
de la circumferència circumscrita i també inscrita) amb el punt
mig d'un dels costat i te el valor del radi de la circumferència inscrita.
El radi d'un polígon regular és la
recta que uneix el centre del polígon (centre també de la
circumferència circumscrita i també inscrita) i un vèrtex
del polígon, aquest radi és també el radi de la circumferència
circumscrita. Les diagonals d'un polígon
són de dos tipus una, la principal, la qual
en els polígons de nombre parell de costats, és la recta que uneix
dos vèrtex oposats, mentre que les altres diagonals
son aquelles rectes que uneixen dos vèrtex no consecutius.
L'alçada
en el cas dels polígons
de costats parells coincideix amb el valor de la línia que va de punt mig
del costat superior al punt mig del costat inferior.
El
perímetre d'un polígon regular,
és la suma de tots els costats del polígon. |
| |
| Línies
notables d'un polígon regular de costats senars
Apotema
( a ), radi ( r
), diagonal ( d
), alçada ( h
) perímetre (
ABCDEFG )
L'apotema
d'un polígon és la recta que uneix el centre d'aquest (centre també
de la circumferència circumscrita i també inscrita) amb el punt
mig d'un dels costat i te el valor del radi de la circumferència inscrita.
El radi d'un polígon regular és la
recta que uneix el centre del polígon (centre també de la
circumferència circumscrita i també inscrita) i un vèrtex
del polígon, aquest radi és també el radi de la circumferència
circumscrita.Les
diagonals d'un polígon són de
dos tipus una, la principal, la qual en els polígons
de nombre parell de costats, és la recta que uneix dos vèrtex oposats,
mentre que les altres diagonals son aquelles rectes
que uneixen dos vèrtex no consecutius. L'alçada
d'un polígon regular és la recta perpendicular des d'un vèrtex
al punt mig del costat oposat en el cas de qualsevol polígon de costat
senar. El perímetre
d'un polígon regular, és la suma de tots els costats del polígon.
| |
|
| 1)
Triangle equilàter donat el costat.- Es tracta de
traçar des d'A i B
arcs amb valor AB i BA.
La intersecció obtinguda serà el tercer vèrtex C del
triangle que cerquem. |
| |
| 2)
Quadrat donat el costat.- Comencem per aixecar una perpendicular
en el extrem A del costat donat AB.
Amb una mesura arbitrària A1 tracem arcs
consecutius des d'A, des de 1 per trobar
2, des de 2 per trobar 3 i des de 3 per trobar 4.
Aixequem la perpendicular A4 per, a continuació des d'A
amb radi AB,
tracem un arc per trobar el punt 5 que
ja és el punt D del quadrat.
A continuació tracem des de D una paral.lela a AB
que en creuar-se amb la paral.lela a AD traçada
des de B,
ens permetrà trobar el punt C
per completar així el quadrat ABCD
de costat AB
que cercàvem. | |
|
| 3)
Pentàgon donat el costat.- Tenim el costat AB,
per començar tracem des de A i B
arcs força amplis de radi AB
que en permetrà trobar els punts 1 i 2 els quals defineixen
la mediatriu d'AB.
Des del punt B
perllonguem AB
i també aixequem una perpendicular a AB des del punt B,
aquesta perpendicular tallarà l'arc traçat des de B
amb radi AB
en el punt 3. Des del punt mig d'AB
tracem un arc obrint el compàs fins al punt 3 per trobar el punt
4 sobre la perllongació d'AB.
Tot seguit obrim el compàs d'A
fins a 4 i tracem un arc, el qual en intersecar-se amb l'arc de la mediatriu
en donarà el punt 5 que ja és un punt del pentàgon
( C ) i amb la mediatriu en el punt 6
que també és un punt del pentàgon ( D
). Ja només ens caldrà amb radi AB
des de D traçar un nou arc que intersecara
l'arc esquerra de la mediatriu en el punt 7 que és el punt E
del pentàgon ABCDE. | |
|
| 4)
Hexàgon donat el costat.- Per
començar tracem arcs des d'A i des de B en valor AB
que hem definit com a arcs
1 i 2, per trobar el centre de la circumferència O.
A continuació amb centre O i radi OB
tracem la circumferència en la qual quedarà inscrit l'hexàgon
ABCDEF que cercàvem.
| | |
| 4)
Heptàgon donat el costat.- En primer lloc tracem
la mediatriu del costat donat AB
per així trobar
els punts 1 i 2. A
partir d'A tracem un
angle de 30º que en tallar una perpendicular
a AB
en el punt B ens permetrà trobar el
punt 3. Tot seguit tracem un arc de circumferència des de A
i de radi A3
per torbar el centre O de la circumferència sobre la qual podrem
marcar set ( 7 ) vegades el costat AB
i trobar l'heptàgon ABCDEFG
que cercàvem. | | |
| 5)
Octògon donat el costat.- Com en tots els casos de
problemes de construcció de polígons donat el costat, comencem traçant
la mediatriu del costat fent sempre els arcs molt oberts, tot seguit aixequem
les perpendiculars al costat AB des d'A
i des de B per trobar els punts 1 i 2 en la intersecció
amb els arcs de la mediatriu de radi AB.
Tracem la diagonal del quadrat resultant AB21
per trobar el punt 3. Des de 3 amb radi 3B tracem un
circumferència que ens tallarà la mediatriu en el punt
O, punt des del qual amb radi OB
traçarem la circumferència en la qual hi cabrà vuit vegades
el costat AB.
Així amb el radi donat AB
podrem anar traçant consecutivament els costats sobre la circumferència
per obtenir l'octògon ABCDEFGH.
| | |
| 6)
Enneàgon donat el costat, primer mètode.- Tracem
la mediatriu del costat AB per mitjà
d'arcs de radi AB
ben oberts des de A
i des de B,
trobem conseqüentment el punt 1. Tracem el triangle equilàter AB1
i, a continuació, tracem la mediana que ens permet trobar el punt 2.
Des del punt 1 i amb radi 1-2 tracem una circumferència que
en intersecar les perllongacions de A1
i B1
en permet trobar els punts 3 i 4 sobre la circumferència
recent traçada. Unint els punts 3 i 4 trobem el centre de
la circumferència O des del qual amb radi OB podem traçar la circumferència
sobre la qual podem traçar nou vegades el costat AB
consecutivament per trobar l'enneàgon ABCDEFGHI
que cercàvem. | | |
| 7)
Enneàgon donat el costat (segon mètode).- Tracem
la mediatriu d'AB emprant com a radi el mateix
valor del costat donat i fem els arcs ben amplis. Tracem la mediatriu i des del
punt 1 que és la intersecció de la mediatriu i els arcs per
construir-la, tracem un arc de circumferència amb radi 1B
fins intersecar la mediatriu en el punt 2. Tot seguit des de 2 tracem
un arc amb radi 2-1 fins tornar a intersecar la mediatriu en el punt que
serà el punt F de l'enneàgon.
Unim F amb A
per mitjà d'una recta, la mediatriu de la qual intersecarà la mediatriu
d'AB
en el centre de la circumferència de radi OB.
Sobre aquesta circumferència podrem traçar nou vegades
el valor del costat AB
que ens permetrà trobar l'enneàgon ABCDEFGHI
que cercàvem. | |
|
| 8)
Decàgon donat el costat.- Tracem la mediatriu del
costat AB
i apliquem el mètode construcció d'un pentàgon donat el costat
(figura 3 d'aquesta pàgina). Des del vèrtex superior del pentàgon
podrem traçar la circumferència en la qual podrem inscriure el dodecàgon
ABCDEFGHIJ de
costat AB
donat. | | |
| 9)
Pentàgon donat el costat, construït per arc capaç.- Sabem
que 360º dividits de 5 ens dona 5 angles centrals de 72º. La suma dels
angles interiors d'un triangle és 180º per tant, com sabem que els
tringles en que podem descomposar un pentàgon són isòsceles
tenim que els altres dos angles són de 54º.
El complementari de 54º és 36º
ja que 54º
més 36º
és 90º. Per arc capaç
de 36º sobre el segment que ens ha estast donat
podriem trobar primer el centre de la circumferència i la circumferència
els pune de la qual ens permetria observar el segment AB
sota l'angle de 36º i sobre la qual podrem definir
amb precisió el pentàgon amb els cinc costats iguala AB. |
| |
| 10)
Pentàgon donat el costat, mètode d'Albrecht Dürer.
Underweysung der messung ( Sobre la mesura).- Com
es pot veure és un mètode força eficaç i senzill.
Totes les operacions han estat realitzades amb radi AB com podeu comprovar. |
Donat un costat AB de 200 mil.límetres construeix un triangle, un pentàgon,
un hexàgon i un heptàgon. |
