© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.
Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual
Tema
Fitxa
TANGENCIES: EXERCICIS ELEMENTALS
18

Abans de fer els exercicis de tangències cal tenir present les següents qüestions: Una tangència és una relació límit entre rectes i corbes o corbes i corbes, basades en un únic punt de contacte, el punt de tangència, un punt importantíssim que a la pràctica cal assenyalar sempre. Anomenem enllaç a la relació harmònica basada en tangències entre arcs de circumferència i línies rectes. Els centres de dues circumferències tangents han d'estar sempre alineats amb el seu punt de tangència. A cada tangent a una circumferència, en el seu punt de tangència li correspon un radi, que està en posició normal (perpendicular) respecte de la línia recta tangent. Molts dels problemes més senzills de tangències es resolen amb operacions d'equidistàncies, emprant mediatrius i bisectrius, tot basant-nos en un conjunt de llocs geomètrics referits a tangències que podeu veure definits en aquesta pàgina i, sobretot a la fitxa 15 . En altres casos, es relacionen amb la resolució de problemes de tangències temes com la potència d'un punt respecte d'una circumferència, l'eix radical i la inversió, ho veureu a la fitxa 17.

1) Traçat amb ajuda del compàs d'una tangent en un punt qualsevol d'una circumferència: Diguem per avançat, que aquest exercici es pot resoldre, també, traçant amb l'escaire la normal al radi corresponent al punt desitjat de la circumferència. Amb compàs, com ho podeu veure a la figura superior, anem traçant arc arbitraris successius d'un valor major a la seva meitat, els quals ens van donant consecutivament els punts, 1, 2, 3 i 4. Aquest últim serà el punt que unit amb el punt triat de la circumferència determinara la recta tangent.
2) Traçat amb ajuda del compàs d'una tangent en un punt qualsevol d'un arc de circumferència: Aquest problema es pot resoldre de dues maneres, una traçant dues cordes i amb les seves mediatrius trobar el centre, amb la qual cosa podríem tornar a realitzar l'exercici anterior o, com veieu a la figura superior des de 1, que és un punt arbitrari traçar dos arcs consecutius 2 i 3 del mateix valor de radi, per després, des de 1 amb radi 1-3 trobar el punt 4, des del qual podem traçar la tangent t traçant una recta fins a 1.
3) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, primer cas: Aquest problema és la representació gràfica de la potència d'un punt respecte de la circumferència, ho acabareu estudiant a matemàtiques. Després d'unir amb una recta el centre de la circumferència donada i el punt exterior M, tracem la mediatriu d'OM per trobar el seu punt mig, des del qual traçarem un arc de circumferència de radi 1/2 d'OM que en permetrà trobar els dos punts de tangència.
4) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, segon cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. Després d'unir amb una recta el centre de la circumferència i el punt exterior M, tracem una circumferència concèntrica a la circumferència donada de radi 2r, a continuació amb radi MO des de M tracem un arc que ens permetrà trobar sobre la circumferència de radi 2R, dos punts que units al centre O ens donaran els punts de tangència sobre la circumferència.
5) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, tercer cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. En primer lloc tracem una circumferència concèntrica a la donada que passi pel punt donat M. Tot seguit, a partir del punt 1 tracem una tangent a la circumferència de centre O perpendicular a OM, la qual en intersecar la circumferència de radi OM ens permetrà trobar els punts 2 i 3. Unint aquests punts amb el centre O trobarem els dos punts de tangència t1 i t2, pels qual pasaran les tangents.
6) Traçat de les tangents des d'un punt exterior a una circumferència, quart cas: Aquest problema és, també, la representació gràfica de la potència. En primer lloc tracem dues rectes secants a la circumferència de centre O que ens donaran quatre punts, 1,2,3 i 4 sobre aquesta. Perllonguem les línies 1-3 i 2- 4 que es creuaran al punt C. Serà des del punt C quan tracem una línia que passi pel punt 5, sobre la circumferència trobarem els dos punts de tangència t1 i t2. Amb aquest mètode us podeu trobar amb el problema, i és que C us doni fora del paper, haureu de repetir les secants, una prou ample i una prou curta fins que C se situï en el full.
7) Circumferències tangents a dues rectes m i n donades i tangents entre si en un punt donat M sobre n: Apliquem el lloc geomètric ( 3 ) de la pàgina anterior. Els centres de les circumferències tangents a una recta, en un punt estan sempre continguts en una perpendicular a a la recta en el punt esmentat. Aquest fet ens permet traçar d'entrada una perpendicular a n en el punt M on ja sabem que hi trobarem els centres de les solucions. A continuació com que les circumferències que cerquem també han de ser tangents a m i n, tracem les bisectrius dels dos angles formats en el punt A, les quals en la seva intersecció amb la perpendicular traçada anteriorment a n en el punt M ens donarà els centres de les solucions O1 i O2.
8) Circumferència tangent a tres rectes s, n i m donades : Apliquem el lloc geomètric ( 2 ) de la pàgina anterior. És el lloc geomètric dels punts del plànol que equidisten en un angle de dos punts també equidistants del vèrtex. En la figura només disposem d'un vèrtex el V1, al qual traçarem la bisectriu, el segon vèrtex V2, el trobarem traçant paral·leles equidistants a s i m per així trobar un vèrtex auxiliar al qual traçarem també la bisectriu. Dues bisectrius ben traçades seran suficients per trobar el centre O1 de la solució. Els punts de tangència els trobarem traçant perpendiculars a les rectes s, n i m, els extrems de les quals formarien un triangle o simplement tres punts no alineats als quals circumscriurien la circumferència solució de centre O1 ( lloc geomètric 2 basat amb la mediatriu).
9) Cinc circumferències tangents entre si i tangents a la circumferència donada de centre O: En primer lloc tenim que traçar un pentàgon regular pel mètode particular o pel mètode general. Si unim el centre O amb tots i cada un dels vèrtex del pentàgon obtindrem cinc triangles. En un d'ells tracem la bisectriu a l'angle central corresponent, punts 1, 2, 3 i trobem també el punt t, tracem des d'ell una tangent a la circumferència de centre O. A continuació tracem una nova bisectriu del triangle OVW, des del seu vertex V, punts 4, 5, 6, per així trobar el centre O1, en creuar-se aquesta bisectriu amb la primera que haviem traçat. T0ts el centres de les solucions de centre O1, O2, O3, O4 i O5 es trobaran continguts en una circumferència de radi OO1.

10) Circumferències tangents a dues circumferències donades que les continguin. Aquest problema també pot ser enunciat de la següent forma: Enllaç de dues circumferències donades per mitja d'arcs de circumferència convexos: A una mesura arbitrària m se li resten els radis de la circumferència major i el de la menor, i amb valors m-r1 i m-r2 tracem arcs a dalt i a baix des de la circumferència corresponent. Aquesta operació ens permet trobar dos punts O1 i O2 des dels quals tracem rectes que passin pels centres fins a intersecar en els punts de tangència corresponents sobre els perímetres de les dues circumferències. Amb el valor O2-t1 des de O1 traçarem el primer arc o la primera circumferència que passarà per t1 i t2, a continuació des de O2 amb valor de radi O2-t3 tracem un segon arc o segona circumferència que passarà per t3 i t4. Aquestes seran les solucions que cercàvem. En aquest exemple només hem marcat els arcs convexos en blau.
11) Circumferències tangents exteriors a dues circumferències donades de centre O1 i O2. Aquest problema també pot ser enunciat de la següent forma: Enllaç de dues circumferències donades per mitja d'arcs de circumferència concaus tal i com està aquí: A una mesura arbitrària m se li sumen els radis r1 i r2, i amb valors r1 + m i r2 + m , tracem arcs a dalt i a baix des de la circumferència corresponent. Aquesta operació ens permet trobar dos punts O1 i O2 des dels quals tracem rectes fins els centres, quan aquestes intersectin la circumferència trobarem els punts de tangència t1, t2, t3 i t4. Amb el valor O1 - t1 des de O1 traçarem el primer arc o la primera circumferència que passarà per t1 i t2, a continuació des d'O2 amb valor de radi O2 - t3 tracem un segon arc o segona circumferència, segons el cas, que passarà per t3 i t4. Aquests arcs seran les sol.lucions que cercàvem. En aquest exemple només hem marcat els arcs concaus en blau cian.
12) Circumferències tangents consecutivament a dos costats AC i CB d'un triangle i tangents entre si: En primer lloc per que les circumferències siguin tangents consecutivament a dos costats hem de traçar necessàriament dues bisectrius dels angles de vèrtex A i B del triangle donat sobre le quals sabem que es trobaran els centres de les solucions, a continuació, tracem una paral·lela arbitrària n, al costat AB del triangle. En intersecar n a les dues bisectrius trobarem dos punts 1 i 4 des dels quals traçarem perpendiculars al costat AB, punts 2 i 5, amb aquest valor de radi traçarem dos arc que tornaran a intersecar n en els punts 3 i 6 pels quals, des de B i des de A traçarem rectes que ens donaran el punt T de tangència entre les dos circumferències solució. Com que els centres de dues circumferències tangents han de estar alineades amb el seu punt de tangència i, com que les circumferències solució havien d'estar sobre les primeres bisectrius dels angles de vèrtex A i B, per T fem passar una paral·lela m a AB que ens permetrà trobar els centres O1 i O2 de les dues solucions possibles.
13) Circumferències tangents a una altra que passin per un punt donat M i tinguin un radi M també donat: Aquest problema pot tenir dues o quatre solucions, segons la posició relativa dels elements intervinents. En aquest cas us presentem un resultat de 2 solucions. En primer lloc amb radi r +m tracem un arc sobre el que es trobaran les solucions, a continuació, per determinar la situació dels punts O1 i O2 des de M amb radi m tracem un arc que intersectarà l'arc r + m, per donar-nos aquestes solucions. Finalment, ajuntant per mitjà de línies rectes els centres O1 i O2 amb el centre O trobarem els punts de tangència i ja podrem procedir a traçar les dues circumferències solució.
14) Tangents exteriors a dues circumferències donades: En primer lloc sobre una semirecta A-n restem al radi major R el radi menor r i amb radi R - r, tracem una circumferència concèntrica interior a la major de les dues circumferències donades, la de centre O1. Tot seguit des del centre O2, tracem les tangents exteriors a la circumferència de radi R - r. Tracem primer la mediatriu entre O1-O2. Des del punt mig entre O1-O2 traçem un arc de circumferencia de radi 1/2 O1-O2 el qual ens permetrà trobar els punts de tangència T1 i T2. Des del centre O1 traçarem línies rectes que passin per T1 i T2 les quals per intersecció ens permetràn trobar els punts de tangència T1 i T2 per on passaràn les tangents solució, les quals, com podeu veure són paral.leles a les tangents O2-T2 i O2-T1.
15) Tangents interiors a dues circumferències donades: En primer lloc sobre una semirecta A-n sumarem al radi major R el radi menor r i amb radi R+r, tracem una circumferència concèntrica interior a la menor de les dues circumferències donades, la de centre O2 en aquest cas. Tot seguit des del centre O1, tracem les tangents exteriors a la circumferència de radi R+r. Tracem primer la mediatriu entre O1-O2. Des del punt mig entre O1-O2 traçem un arc de circumferencia de radi 1/2 O1-O2 el qual ens permetrà trobar els punts de tangència T1 i T2. Des del centre O2 traçarem línies rectes que passin per T1 i T2 les quals per intersecció ens permetràn trobar els punts de tangència T1 i T2 per on passaràn les tangents solució, les quals, com podeu veure són paral.leles a les tangents O1-T2 i O1-T1.
16) Tangents exterior a dues circumferències, mètode homotètic.- Tenim dues circumferències de centre O1 i O2. En primer lloc tracem la recta que passa per aquests dos centres, a continuació i de forma arbitrària tracem els radis r1 i r2 paral.lels entre si que ens permeten trobar els punts 1 i 2, pels quals tracem una recta que intersecarà la recta dels centres en el punt O. Trobem el punt mig entre O-O1 que està sobre la mediatriu n i que anomenem 1, des del qual tracem r1 amb valor 1-O1 per trobar els punts de tangència T1 i T1'. A continuació trobem el punt mig entre O-O2 que està sobre la mediatriu m i que anomenem 2, des del qual tracem r2 amb valor 2-O2 per trobar els punts de tangència T2 i T2'. Per T1 i T2 passa la tangent exterior superior i per t1' i t2' passa la tangent exterior inferior.
17) Tangents interiors a dues circumferències, mètode homotètic.- Tenim dues circumferències de centre O1 i O2. En primer lloc tracem la recta que passa per aquests dos centres, a continuació i de forma arbitrària tracem els radis r1 i r2 paral.lels entre si que ens permeten trobar els punts 1 i 2, pels quals tracem una recta que intersecarà la recta dels centres en el punt O. Trobem el punt mig entre O-O1 que està sobre la mediatriu n i que anomenem 1, des del qual tracem r1 amb valor 1-O1 per trobar els punts de tangència T1 i T1'. A continuació trobem el punt mig entre O-O2 que està sobre la mediatriu m i que anomenem 2, des del qual tracem r2 amb valor 2-O2 per trobar els punts de tangència T2 i T2'. Per T1 i T2' passa una tangent interior i per t1' i t2 passa l'altra tangent interior.

Construeix mitjançant tangències les lletres de les teves inicials.
Webs relacionades