© Pere Planells i Bonet. Catedràtic de Dibuix de l'IES Els Tres Turons d'Arenys de Mar.

Curs de dibuix i expressió geomètrica i gràfico-visual

	Tema	Fitxa	DOCUMENTACIÓ I EXERCICIS
	LÍNIES NOTABLES, PERTINENCES, INTERSECCIONS, PARAL.LELISME, PERPENDICULARITAT, DISTÀNCIES I VERTADERES DIMENSIONS	37_2

INTERSECCIONS

A la recta d'intersecció de dos plànolsl'anomenem traça, així com també al punt d'intersecció entre una recta i un plànol . En el dièdric clàssic la intersecció es pot produir en un quadrant diferent al qual estem treballant i en el dièdric directe es pot donar el cas, segons les posicions relatives dels plànols defintits en que aquestes traces es trobin fora dels dominis del paper de treball.

Intersecció de dos plànols oblics. Tenim els punts d'intersecció de traces 1 i 2'. Trobem d'immediat els seus homòlegs 1' i 2 traçant perpendiculars a la línia de terra. Les traces d'intersecció dels dos plànols oblics són 1' - 2' i 1 - 2.

Intersecció de dos plànols oblics ( segon cas ) . Tenim els punts d'intersecció de traces 1 i 2'. Trobem d'immediat els seus homòlegs 1' i 2 traçant perpendiculars a la línia de terra. Les traces d'intersecció dels dos plànols oblics són 1' - 2' i 1 - 2.

Intersecció de dos plànols oblics que es tallen en un altre quadrant. Perllonguem primer les traces verticals dels dos plànols donats TvP1 i TvP2 fins trobar els seu punt d'intersecció 1. A continuació trobem el seu homòleg 1' . Per 1' - 2 passarà la traça d'intersecció TrH a partir de dos en el nostre quadrant i per 1 - 2' a partir de 2' en el nostra quadrant passarà la TrV.

Intersecció de dos plànols oblics que es tallen en un altre quadrant ( segon cas ). Perllonguem primer les traces verticals dels dos plànols donats TvP1 i TvP2 fins trobar els seu punt d'intersecció 2. A continuació trobem el seu homòleg 2' . A continuació perllonguem ThP1 i ThP2 per trobar 1' i el seu homòleg 1 a continuació. Per 2 - 1, passarà la traça d'intersecció TrV a partir de la part inferior de la línia de terra del nostre quadrant. Per 1' - 2', passarà la traça d'intersecció TrH a partir de la part inferior de la línia de terra del nostre quadrant.

Intersecció de dos plànols oblics en els sistema dièdric directe. Ens són donats els triangles ( a',b',c'-a,b,c ) i ( d',e',f'-d,e,f ). Tracem en el alçat dues línies horitzontals que ens donaran en la intersecció amb els triangles els punts 1', 2', 3', 4' i 5', 6', 7', 8'. Tot seguit sobre les línies homòlogues de les projeccions horitzontals dels triangles trobarem 1, 2, 3, 4 i 5, 6, 7, 8. El creuament de les rectes determinades per les parelles de punts 1, 4 i 3, 2 ens permetran trobar el primer punt A de la traça de intersecció dels dos plànols a la planta, i el creuament de les rectes determinades per les parelles de punts 5, 8 i 6, 7 en permetran trobar el segon punt B de la traça de intersecció dels dos plànols a la planta. Els punts homòlegs d'A i B a l'alçat sobre les línies també homòlogues A', B' , completaran en el alçat el dièdric de la intersecció dels dos plànols. TrV i TrH són les traces de la intersecció.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol frontal. Només cal assenyalar l'únic punt d'intersecció 1 i trobar el seu homòleg 1' el alçat sobre la línia de terra. Com que un plànol frontal és aquell que té una una sola traça que és la seva projecció horitzontal, la intersecció és una linia frontal del plànol oblic. TrV i TrH són les traces de la intersecció.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol horitzontal (paral.lel al plànol horitzontal i erpendicular al vertical). Només cal assenyalar l'únic punt d'intersecció 1' i trobar el seu homòleg 1 a la planta sobre la línia de terra. Com que un plànol horitzontal és aquell que té una una sola traça que és la seva projecció vertical, la intersecció és una linia horitzontal del plànol oblic. TrV i TrH són les traces de la intersecció.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol frontal (mètode directe). Només cal assenyalar els dos punts d'intersecció 1 i 2 i trobar els seus homòleg 1', 2' a ll'alçat. Aquesta intersecció és una linia frontal del plànol ( a', b', c' - a, b, c ). TrV i TrH són les traces de la intersecció.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol horitzontal (mètode directe). Només cal assenyalar els dos punts d'intersecció 1' i 2' i trobar els seus homòleg 1, 2 a la plantat. Aquesta intersecció és una linia horitzontal del plànol ( a', b', c' - a, b, c ). TrV i TrH són les traces de la intersecció.

Intersecció d'un plànol perpendicular al plànol horitzontal i oblic a vertical ( plànol vertical ) i un plànol perpendicular al vertical i oblic a l'horitzontal (plànol de costat) pel mètode directe. Assenyalem els dos punts d'intersecció 1' i 2. Tot seguit cal trobar els seus homòleg 1 i 2'. els punt 1', 2' ens determinaran la traça vertical de la intersecció vertical TrV i 1, 2 ens determinaran la traça de la intersecció horitzontal TrH.

Intersecció d'un plànol perpendicular al plànol horitzontal i oblic a vertical ( plànol vertical ) i un plànol perpendicular al vertical i oblic a l'horitzontal (plànol de costat) pel mètode directe.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol perpendicular al vertical i oblic a l'horitzontal (plànol de costat). Com en altres cassos , partim de les dues interseccions 1' i 2 entre els dos plànols, a partir de les quals trobem els seus homòlegs 1 i 2'. El dièdric de la intersecció ens ve donat en el alçat per la traça vertical tr V entre els punts 1', 2' i a la planta per la traça horitzontal tr H entre els punts 1, 2.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol perpendicular al vertical i oblic a l'horitzontal (plànol de costat) pel mètode directe. Partim de les dues interseccions 1' i 2' entre els dos plànols, a partir de les quals trobem els seus homòlegs 1 i 2. El dièdric de la intersecció ens ve donat en el alçat per la traça vertical tr V entre els punts 1', 2' i a la planta per la traça horitzontal tr H entre els punts 1, 2.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol perpendicular a l'horitzontal i oblic al vertical (plànol vertical). Partim de les dues interseccions 1 i 2' entre els dos plànols, a partir de les quals trobem els seus homòlegs 1' i 2. El dièdric de la intersecció ens ve donat en el alçat per la traça vertical tr V entre els punts 1', 2' i a la planta per la traça horitzontal tr H entre els punts 1, 2.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol perpendicular a l'horitzontal i oblic al vertical (plànol vertical). Partim de les dues interseccions 1 i 2 entre els dos plànols, a partir de les quals trobem els seus homòlegs 1' i 2'. El dièdric de la intersecció ens ve donat en el alçat per la traça vertical tr V entre els punts 1', 2' i a la planta per la traça horitzontal tr H entre els punts 1, 2.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol paral.lel a la línia de terra. Partim de les dues interseccions 1 i 2' entre els dos plànols, a partir de les quals trobem els seus homòlegs 1' i 2. El dièdric de la intersecció ens ve donat en el alçat per la traça vertical tr V entre els punts 1', 2' i a la planta per la traça horitzontal tr H entre els punts 1, 2.

Intersecció d'un plànol oblic i un plànol perpendicular a la línia de terra definit pels punts A - A'. En primer lloc tracem un plànol paral.lel a la línia de terra, les traces del qual passin per les projeccions vertical i horitzontal del punt A - A'. Tot seguit tracem una línia horitzontal del plànol oblic donat TvP1 - ThP1, la intersecció de la qual amb ThP2, B ens permetra trobar l'homòleg B' sobre TvP2 .Com que el punt B - B' pertany al plànol oblic i al plànol paral.lel a la línia de terra i A - A' i B - B' pertanyen al plànol TvP2-ThP2, les traces d'intersecció trV i trH seràn les traceds d'intersecció dels plànols oblic i del perpendicular a la línia de terra.

Intersecció de dos plànols paral.lels a la línia de terra .

Intersecció de plànols oblics les traces verticals dels quals es tallen fora dels límits del paper. En primer lloc tracem un plànol paral.lel al planol horitzontal TvP3. Des dels punts d'intersecció 2' i 1' trobem els seus homòlegs 2 i 1 pels conjunts dels quatre punts tracem línies horitzontals dels plànols oblics, les projeccions horitzontals de les quals seràn paral.leles a les traces horitzontals dels plànols que les contenen. A la planta de l'exercici trobarem els encreuaments 3 i 4 dels quals trobarem els punts homòlegs 3' i 4'. Els punts 3 i 4 definiran la traça horitzontal trH de la intersecció i els punts 3' i 4' definiran la traça vertical trV de la intersecció. La direcció m i la perllongació de les traces verticals dels plànols oblics TvP2 i TvP1 i la traça trV, es trobaríen en el punt exteriror als límits del dibuix que cercàvem.

Intersecció de plànols oblics les traces horitzontals dels quals es tallen fora dels límits del paper. En primer lloc tracem un plànol paral.lel al planol vertical ThP3. Des dels punts d'intersecció 1 i 2 trobem els seus homòlegs 1' i 2' pels conjunts dels quatre punts tracem línies frontals dels plànols oblics, les projeccions verticals de les quals seràn paral.leles a les traces horitzontals dels plànols que les contenen. A l'alçat de l'exercici trobarem els encreuaments 3' i 4' dels quals trobarem els punts homòlegs 3 i 4. Els punts 3 i 4 definiran la traça horitzontal trH de la intersecció i els punts 3' i 4' definiran la traça vertical trV de la intersecció. La direcció m i la perllongació de les traces horitzontals dels plànols oblics ThP2 i ThP1 i la traça trH, es trobaríen en el punt exteriror als límits del dibuix que cercàvem.

Intersecció de plànols oblics les traces horitzontals i verticals dels quals es tallen fora dels límits del paper. En primer lloc tracem dos plànols paral.lel al planol horitzontal ThP3 i ThP4. Pels punts d'intersecció 1', 2', 3' i 4', i pels seus homòlegs 1, 2, 3 i 4, tracem línies horitzontals dels plànols oblics, les projeccions horitzontals de les quals seràn paral.leles a les traces horitzontals dels plànols que les contenen. Aquestes projeccions horitzontals es creuen en els punts 5 i 6 a partir dels quals trobarem els seus homòlegs 5' i 6'. Els punts 5 i 6 defineixen la traça horitzontal trH de la intersecció i els punts 5' i 6' defineixen la traça vertical trV de la intersecció. Les direccions m i n, la perllongació de les traces horitzontals i verticals dels plànols oblics ThP2 i ThP1 ThP2 i ThP1 i les traces trH i trV es trobaríen en els punt exteriror als límits del dibuix que cercàvem.

Intersecció de plànols oblics les traces verticals dels quals són paral.leles i les horitzontals es creuen. A partir del punt 1 on es tallen les traces horitzontals ThP1 i ThP2 dels plànols oblics donats trobem el punt homòleg 1'. La solució, la intersecció d'aquests dos plànols oblics, és una línia frontal comú als dos plànols i les traces de la intersecció Tr V i Tr H.

Intersecció de plànols oblics les traces horitzontals dels quals són paral.leles i les verticals es creuen. A partir del punt 1' on es tallen les traces verticals TvP1 i TvP2 dels plànols oblics donats, trobem el punt homòleg 1. La solució, la intersecció d'aquests dos plànols oblics, és una línia horitzontal comú als dos plànols i les traces de la intersecció Tr V i Tr H.

Interseccions de rectes i plànols

La intersecció d'una recta r1 i un plànol P1 és un punt, A en aquest cas. Per trobar aquest punt cal definir el plànol P2 que contingui la recta. Normalment, els plànols projectants, els quals son perpendiculars a algun dels plànols de projecció, són els que més facilment ens permetran fer les operacions . El creuament de la recta donada r1 amb la traça d'intersecció dels dos plànols TrP1P2 ens permetran definir el punt A.

Versió espaial i dièdrica de la intersecció d'una recta R i un plànol P1. En primer lloc tracem un plànol projectant P2 format per els punts 1, 2, 2' que contingui la rcta R, la qual cosa ens permet determinar la intersecció A.

Versió en dièdric directe de la intersecció d'una recta r - r' i un plànol P1V- P1H. En primer lloc tracem un plànol projectant P2H-P2V partint de la planta i fent coincidir la projecció horitzontal del plànol projectant P2H amb la projecció horitzontal de la recta r, la qual cosa ens permet trobar la primera parella de punts 1 i 2. Tot seguit cerquem els punts homòlegs dels anteriors 1', 2' que en creuar-se amb la recta r' ens permetra trobar la projecció vertical de la intersecció a', per acabar trobem el seu punt homòleg a, el qual serà la projecció horitzontal de la intersecció de la recta amb el plànol.

Intersecció d'una recta r - r' i un plànol P1V- P1H. En primer lloc tracem un plànol projectant P2H-P2V fent coincidir la traça P2H amb r. Trobem els punts 1 i 2' de intersecció dels dos plànols. Trobem el punt homòleg d'1, 1'. Tot seguit sobre 1', 2' trobarem el punt a' del qual trobem el seu punt homòleg a. Els a i a' son les projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' amb el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r' i un plànol P1V- P1H. En primer lloc tracem un plànol projectant P2H-P2V fent coincidir la traça P2V amb r'. Trobem els punts 1' i el seu homòleg 1. Perllongant P1H i P2H trobarem en el segon quadrant el punt n. Per n, 1 passa una recta que en inersecar r ens permetrà trobar el punt a. Sobre r' trobarem el punt a' homòleg del punt a. Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r' i un plànol projectant horitzontal o plànol vertical, P1V- P1H. Aquest és un dels cassos més senzills on podem veure que la intersecció de P1H amb r, directament ja ens dona el punt a, tot seguit trobarem el punt homòleg a' sobre r' . Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r' i un plànol projectant vertical o plànol de costat, P1V- P1H. Aquest és un cas, com l'anterior, també prou senzill, on podem veure que la intersecció de P1H amb r, directament ja ens dona el punt a', tot seguit trobarem el punt homòleg a sobre r . Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r', perpendicular al plànol horitzontal i paral.lela al vertical i un plànol oblic, P1V- P1H. Aquest és un cas que es pot resoldre per mitjà de línies notables del plànol P1V- P1H. aqui esta resolt de dues maneres, amb una frontal del plànol i una horitzontal del plànol. Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r', perpendicular al plànol vertical i paral.lela a l'horitzontal i un plànol oblic, P1V- P1H. Aquest cas també es pot resoldre per mitjà de línies notables del plànol P1V- P1H. Aqui esta resolt de dues maneres, amb una frontal del plànol i una horitzontal del plànol. Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol P1V- P1H.

Intersecció d'una recta r - r', perpendicular al plànol vertical i paral.lela a l'horitzontal i un plànol oblic definit per dues rectes que es tallen m-m' i n-n'. Tracem el plànol auxiliar P1H - P1V, trobarem els punts 1 i 2. Tot seguit trobem els punts homòlegs 1' i 2', els quals ens determinen sobre el segment que defineixen el punt a' sobre la projecció vertical de la recta r'. A continuació trobem el punt homòleg a sobre la projecció r de la recta. Els punts a i a' són son les dues projeccions dièdriques de la intersecció de la recta r - r' i el plànol determinat per les rectes m-m' i n-n' que es tallen.

Intersecció d'una recta r - r', paral.lela a la línia de terra la qual te per traces els punts 1, 1' amb un plànol oblic P1H - P1V. Tracem el plànol auxiliar P2H - P2V, que es superposarà a les projeccions de la línea r - r'. Treballarem sobre un plànol de perfil, tot projectant les traces de la línia donada 1 i 1' per una banda i per l'altra, projectant les traces de la intersecció entre els dos plànols 2 i 2'. La intersecció de les línies projectades sobre el perfil ens donaran el punt a'' a partir del qual trobarem els seus homòlegs a' i a, els quals seràn la representació dièdrica dels punt de la intersecció que cercàvem.

Webs relacionades